En los modelos con datos de panel, tenemos simultáneamente las dimensiones de espacio y de tiempo: la misma unidad de corte transversal se estudia a lo largo del tiempo.

\[ \begin{align} y_{it}=& \beta_1x_{it}^1+\beta_2x_{it}^2+\ldots+\beta_kx_{it}^k+u_{it}\\ i=& 1,\ldots,N\\ t=&1,\ldots,T \end{align} \]

Un modelo con datos de panel se puede escribir de forma más compacta:

\[ y_{it}=\mathbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta}+u_{it} \]

donde:

\[ \mathbf{x}_{it}=\begin{bmatrix} x_{it}^1 & x_{it}^2 & \ldots & x_{it}^k \end{bmatrix} \]

y:

\[ \boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_k \end{bmatrix} \]

Se dice que:

• Un panel de datos es balanceado si cada sujeto tiene el mismo número de observaciones. El panel es desbalanceado si no.

• Un panel es corto si \(N>T\). En cambio, un panel es largo si \(T>N\).

Aquí estudiaremos paneles balanceados.

La forma más común de organizar un panel de datos es por unidades de sección cruzada. Especificamente:

\[ \mathbf{y}_i=\begin{bmatrix} y_{i1}\\ y_{i2}\\ \vdots \\ y_{iT} \end{bmatrix}_{(T\times 1)} \quad \quad \mathbf{x}_i=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_{i1}\\ \mathbf{x}_{i2}\\ \vdots \\ \mathbf{x}_{iT} \end{bmatrix}_{(T\times K)}\quad \quad \mathbf{u}_i=\begin{bmatrix} u_{i1}\\ u_{i2}\\ \vdots\\ u_{iT} \end{bmatrix}_{(T\times 1)} \]

Además, también podemos apilar los datos como sigue:

\[ \mathbf{y}=\begin{bmatrix} \mathbf{y}_{1}\\ \mathbf{y}_{2}\\ \vdots \\ \mathbf{y}_{N} \end{bmatrix}_{(NT\times 1)} \quad \quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}\\ \mathbf{x}_{2}\\ \vdots \\ \mathbf{x}_{N} \end{bmatrix}_{(NT\times K)}\quad \quad \mathbf{u}=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}\\ \mathbf{u}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{u}_{N} \end{bmatrix}_{(NT\times 1)} \]

Esto nos permite escribir el modelo como:

\[ \mathbf{y}=\mathbf{x}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{u} \]

A manera de ejemplo, considera el siguiente modelo de aerolineas:

\[ \begin{align} C_{it}=&\beta_1+\beta_2Q_{it}+\beta_3PF_{it}+\beta_4LF_{it}+u_{it}\\ i=&1,2,\ldots,6\\ t=& 1,2,\ldots,15 \end{align} \]

Donde:

\[ \begin{align} C_{it}& : \quad \text{Costo total, 1000's de dólares}\\ Q_{it} &: \quad \text{Poducción, ingresos por milla por pasajero}\\ PF_{it} &: \quad \text{Precio del combustible}\\ LF_{it} &: \quad \text{Factor de carga} \end{align} \]

El panel de datos se ve:

\[ \begin{array}{cccc} \textbf{C} & \textbf{Q} & \textbf{PF} & \textbf{LF} \\ \hline C_{1,1} & Q_{1,1} & PF_{1,1} & LF_{1,1} \\ C_{1,2} & Q_{1,2} & PF_{1,2} & LF_{1,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{1,15} & Q_{1,15} & PF_{1,15} & LF_{1,15} \\[5pt] C_{2,1} & Q_{2,1} & PF_{2,1} & LF_{2,1} \\ C_{2,2} & Q_{2,2} & PF_{2,2} & LF_{2,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{2,15} & Q_{2,15} & PF_{2,15} & LF_{2,15} \\[5pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\[5pt] C_{6,15} & Q_{6,15} & PF_{6,15} & LF_{6,15} \\ \end{array} \]

Si suponemos que se satisfacen los supuestos del modelo de regresión lineal (\(u_{it}\sim iid(0,\sigma^2\)) para todo \(i\) y \(t\), y que las variables explicativas sean exógenas), el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO):

\[ \mathbf{b}=(\mathbf{x}'\mathbf{x})^{-1}\mathbf{x}'\mathbf{y} \]

es insesgado, eficiente y consistente.

Problema. El modelo ignora la estructura de panel que tienen los datos. En particular, el modelo no toma en cuenta la heterogeneidad que existe entre las observaciones.

Si estimamos por MCO el modelo de las aerolineas obtenemos:

## Pooling Model
## 
## Call:
## plm(formula = C ~ Q + PF + LF, data = airlines, model = "pooling")
## 
## Balanced Panel: n = 6, T = 15, N = 90
## 
## Residuals:
##    Min. 1st Qu.  Median 3rd Qu.    Max. 
## -520654 -250270   37333  208690  849700 
## 
## Coefficients:
##                Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1.1586e+06  3.6059e+05  3.2129   0.00185 ** 
## Q            2.0261e+06  6.1807e+04 32.7813 < 2.2e-16 ***
## PF           1.2253e+00  1.0372e-01 11.8138 < 2.2e-16 ***
## LF          -3.0658e+06  6.9633e+05 -4.4027 3.058e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Total Sum of Squares:    1.2647e+14
## Residual Sum of Squares: 6.8177e+12
## R-Squared:      0.94609
## Adj. R-Squared: 0.94421
## F-statistic: 503.118 on 3 and 86 DF, p-value: < 2.22e-16

Como hemos dicho, el modelo básico no toma en cuenta la heterogeneidad que existe entre observaciones. Esto puede conducir a problemas de endogeneidad. Varias alternativas se han propuesto para evitar este problema. En general, consideraremos el siguiente modelo:

\[ y_{it}=\mathbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta}+u_{it} \]

donde suponemos que el número de individuos, \(N\), es grande y el número de periodos, \(T\), es corto. Además, suponemos que:

\[ u_{it}=\alpha_i+\eta_{it} \]

donde \(\eta_{it}\) y \(\mathbf{x}_{it}\) no están correlacionados. Aquí, \(\eta_{it}\) es un efecto idiosincrático y \(\alpha_i\) es un efecto individual, o componente de error de corte transversal.

Dependiendo de los supuestos sobre el efecto individual, tenemos:

• Modelo de efectos aleatorios: \(\alpha_i\) y \(\mathbf{x}_{it}\) no están correlacionados.

• Modelo de efectos fijos: \(\alpha_i\) y \(\mathbf{x}_{it}\) están correlacionados.

En el modelo con efectos aleatorios tenemos que:

\[ \begin{align} y_{it}=&\mathbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta}+u_{it}\\ u_{it}=&\alpha_i+\eta_{it} \end{align} \]

Además, el termino \(\alpha_i\) no está correlacionado con \(\mathbf{x}_{it}\) y:

\[ \begin{align} \mathbb{E}[\boldsymbol{\eta}] &= 0 & \quad \mathbb{E}[\boldsymbol{\eta \: \eta}'] &= \sigma_\eta^2\mathbf{I}_{NT} \\[5pt] \mathbb{E}[\alpha_i \alpha_j] &= 0, \; \text{para} \; i \neq j & \quad \mathbb{E}[\alpha_i \alpha_i] &= \sigma_\alpha^2 \\[5pt] \mathbb{E}[\alpha_i \eta_{jt}] &= 0 & \quad \mathbb{E}[\alpha_i] &= 0 \end{align} \]

donde todos los valores esperados son condicionales a \(\mathbf{x}\).

Cuando el modelo verdadero es el modelo con efectos aleatorios, la estimación por MCO:

1. Produce estimadores consistentes de \(\boldsymbol{\beta}\), pero subestima los errores estándar de la regresión.

2. No es eficiente comparado con el procedimiento de mínimos cuadrados generalizados (MCG).

Como hemos aprendido, para estimar el modelo usando el método de mínimos cuadrados generalizados necesitamos factorizar la matriz de covarianzas de los errores.

Para este modelo:

\[ \begin{align} \boldsymbol{\Omega}=& \mathbf{I}_N \otimes \boldsymbol{\Sigma}\\[5pt] =& \mathbb{E}[\mathbf{uu}']\\[5pt] =&\begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \boldsymbol{\Sigma} & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \boldsymbol{\Sigma} \end{bmatrix}_{NT\times NT} \end{align} \]

Dados nuestros supuestos, tenemos que:

\[ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbb{E}[\mathbf{u}_i \mathbf{u}_i'] = \sigma_\eta^2 \mathbf{I}_T + \sigma_\alpha^2 \mathbf{i} \mathbf{i}' = \begin{bmatrix} \sigma_\eta^2 + \sigma_\alpha^2 & \sigma_\alpha^2 & \cdots & \sigma_\alpha^2 \\ \sigma_\alpha^2 & \sigma_\eta^2 + \sigma_\alpha^2 & \cdots & \sigma_\alpha^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_\alpha^2 & \sigma_\alpha^2 & \cdots & \sigma_\eta^2 + \sigma_\alpha^2 \end{bmatrix}_{T \times T} \]

donde \(\mathbf{i}\) es un vector de unos de tamaño \(T \times 1\).

Ejercicio

Muestra que:

\[ \boldsymbol{\Sigma}=\mathbb{E}[\mathbf{u}_i\mathbf{u}'_i]=\sigma_\eta^2\mathbf{I}_T+\sigma_\alpha^2\mathbf{ii}' \]

Adémas, se puede demostrar que:

\[ \begin{align} \boldsymbol{\Sigma}^{-1/2}=&\left[\mathbf{I}_T-\frac{\theta_i}{T}\mathbf{ii}'\right]\\[10pt] \theta=& 1- \sqrt{\frac{\sigma_\eta^2}{\sigma_\eta^2+T\sigma_\alpha^2}} \end{align} \]

Finalmente, podemos transformar las variables del modelo. Por ejemplo, para la variable dependiente:

\[ \boldsymbol{\Sigma}^{-1/2}\mathbf{y}_i=\frac{1}{\sigma_\eta^2}\begin{bmatrix} y_{i1}-\theta\overline{y}_{i\cdot}\\ y_{i2}-\theta\overline{y}_{i\cdot}\\ \vdots \\ y_{iT}-\theta\overline{y}_{i\cdot} \end{bmatrix}\; ; \quad\overline{y}_{i\cdot}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} y_{it} \]

Lo mismo para las variables explicativas del modelo.

Para poder estimar el modelo por el método de los MCG (factibles), es necesario estimar las varianzas, \(\sigma_\eta\) y \(\sigma_\alpha\). Estas pueden obtenerse combinando dos diferentes estimadores:

• Estimador entre grupos o between.

• Estimador intra grupos o within.

Nota.

Ambos estimadores son consistentes, aunque no eficientes comparados con el estimador de MCG.

Calculamos el promedio temporal de todas las variables del modelo:

\[ \begin{align} \overline{y}_{i\cdot}= & \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} y_{it}\: ;\quad i= 1,\ldots, N\\[5pt] \overline{x}_{i\cdot}^j= & \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} x_{it}^j\: ;\quad j= 1,\ldots, K \end{align} \]

Y planteamos el modelo:

\[ \overline{y}_{i\cdot}=\overline{\mathbf{x}}_{i\cdot}\boldsymbol{\beta}+\text{error} \]

El modelo tambien se puede expresar en términos matriciales. Para hacer esto:

• Definimos una matriz \(\mathbf{D}\) formada de \(N\) variables dummy, una por cada unidad de observación. Nota que \(\mathbf{D}\) es una matriz de dimensión \(NT\times N\).

• Definimos ahora la siguiente matriz simétrica e idempotente.

\[ \mathbf{P}_D=\mathbf{D}(\mathbf{D}'\mathbf{D})^{-1}\mathbf{D}' \]

• Premultiplicamos el modelo de base por la matriz \(\mathbf{P}_D\).

Ejercicio

Muestra que los modelos:

\[ \mathbf{P}_D\mathbf{y}=\mathbf{P}_D \mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+ \mathbf{P}_D\mathbf{u} \]

y:

\[ \overline{y}_{i\cdot}=\overline{\mathbf{x}}_{i\cdot}\boldsymbol{\beta}+\text{error} \]

son equivalentes.

El estimador between resulta de estimar el modelo transformado por el método de los MCO:

\[ \mathbf{b}_B=(\mathbf{X}'\mathbf{P}_D\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'\mathbf{P}_D \mathbf{y} \]

Nota. En otro contexto, a \(\mathbf{b}_B\) también se le conoce como estimador de Wald.

Si ahora definimos la matriz (simétrica e idempotente):

\[ \mathbf{M}_D=\mathbf{I}_{NT}-\mathbf{P}_D \]

y estimamos por el método de los MCO el modelo:

\[ \mathbf{M}_D\mathbf{y}=\mathbf{M}_D\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{M}_D\mathbf{u} \]

Obtenemos el estimador within:

\[ \mathbf{b}_W=(\mathbf{X}'\mathbf{M}_D\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{M}_D \mathbf{y} \]

Ejercicio

Muestra que el estimador within es el resultado de estimar por MCO a todos los datos incluyendo un conjunto de variables dummy. Muestra, además, que el estimador within también se obtiene de estimar por MCO:

\[ y_{it}-\overline{y}_{i \cdot}=(\mathbf{x}_{it}-\overline{\mathbf{x}}_{i\cdot})\boldsymbol{\beta}+\text{error} \]

Ahora podemos calcular los estimadores para las varianzas de \(\sigma_\eta\) y \(\sigma_\alpha\). Estos son:

\[ \begin{align} \hat{\sigma}_\eta^2&=\frac{1}{NT-NK-N}\;\hat{\mathbf{u}}'_W \hat{\mathbf{u}}_W \\[5pt] \hat{\sigma}_B^2&= \frac{\hat{\mathbf{u}}'_B \;\hat{\mathbf{u}}_B}{N-K}\\[5pt] \hat{\sigma}_\alpha^2&=\hat{\sigma}_B^2-\frac{\hat{\sigma}_\eta}{T} \end{align} \]

donde:

\[ \begin{align} \hat{\mathbf{u}}_W &: \quad \text{Residuales del modelo within}\\ \hat{\mathbf{u}}_B &: \quad \text{Residuales del modelo between} \end{align} \]

Ejercicio

Muestra que los estimadores de \(\sigma_\eta\) y \(\sigma_\alpha\) son asintóticamente insesgados.

Si no contamos con una computadora que calcule el estimador de efectos aleatorios directamente, podemos utilizar el siguiente procedimiento:

• Calculamos los estimadores between y within.

• Utilizamos los residuales para calcular los términos de la varianza.

• Calculamos el estimador de \(\theta\).

• Calculamos el estimador de MCO de la siguiente regresión:

\[ \begin{align} \tilde{\mathbf{y}}=& \tilde{\mathbf{X}}\boldsymbol{\beta}+ \text{error}\\[5pt] \tilde{y}_{it}=& y_{it} -\overline{y}_{i \cdot}+\hat{\theta}\overline{y}_{i\cdot}\\[5pt] \tilde{\mathbf{X}}_{it}=&\mathbf{x}_{it}-\overline{\mathbf{x}}_{i\cdot}+\hat{\theta}\overline{\mathbf{x}}_{i\cdot} \end{align} \]

Nota que cuando \(\sigma_\alpha^2=0\), \(\theta=1\) y el estimador de efectos aleatorios se reduce al estimador de MCO del modelo de base.

Ejercicio

Calcula manualmente los estimadores de efectos aleatorios mediante el cálculo de los estimadores between y within.

Ejercicio

Muestra que cuando \(\sigma_\alpha^2=0,\; \theta=1\) y el estimador de efectos aleatorios se reduce al estimador de MCO del modelo de base.

La estimación por MCG del modelo de las aerolineas con efectos aleatorios resulta en:

## Oneway (individual) effect Random Effect Model 
##    (Swamy-Arora's transformation)
## 
## Call:
## plm(formula = C ~ Q + PF + LF, data = airlines, model = "random")
## 
## Balanced Panel: n = 6, T = 15, N = 90
## 
## Effects:
##                     var   std.dev share
## idiosyncratic 4.428e+10 2.104e+05 0.793
## individual    1.154e+10 1.074e+05 0.207
## theta: 0.5486
## 
## Residuals:
##    Min. 1st Qu.  Median 3rd Qu.    Max. 
## -535726 -238494   49890  207491  722934 
## 
## Coefficients:
##                Estimate  Std. Error z-value  Pr(>|z|)    
## (Intercept)  1.0743e+06  3.7747e+05  2.8461  0.004427 ** 
## Q            2.2886e+06  1.0949e+05 20.9015 < 2.2e-16 ***
## PF           1.1236e+00  1.0344e-01 10.8622 < 2.2e-16 ***
## LF          -3.0850e+06  7.2568e+05 -4.2512 2.126e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Total Sum of Squares:    6.6198e+13
## Residual Sum of Squares: 5.8721e+12
## R-Squared:      0.91129
## Adj. R-Squared: 0.9082
## Chisq: 883.501 on 3 DF, p-value: < 2.22e-16

En el modelo co efectos fijos tenemos:

\[ \begin{align} y_{it}=&\mathbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta}+z_i\boldsymbol{\delta}+u_{it},\\[5pt] u_{it}=&\alpha_i + \eta_{it} \end{align} \]

y:

\[ \begin{align} \mathbb{E}[\boldsymbol{\eta}] &= 0 & \quad \mathbb{E}[\boldsymbol{\eta \: \eta}'] &= \sigma_\eta^2\mathbf{I}_{NT} \\[5pt] \mathbb{E}[\alpha_i \alpha_j] &= 0, \; \text{para} \; i \neq j & \quad \mathbb{E}[\alpha_i \alpha_i] &= \sigma_\alpha^2 \\[5pt] \mathbb{E}[\alpha_i \eta_{jt}] &= 0 & \quad \mathbb{E}[\alpha_i] &= 0 \end{align} \]

donde todos los valores esperados son condicionales a \(\mathbf{x}\) y a \(\mathbf{z}\).

En el modelo con efectos fijos tenemos un supuesto adicional:

\[ \mathbb{E}[\mathbf{w}_{it}'u_{it}]\neq 0\; ; \quad \mathbf{w}_{it}=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_{it} & \mathbf{z}_i \end{bmatrix} \]

Dado que ahora \(\alpha_i\) esta correlacionado con las variables explicativas, el estimador de MCO no será insesgado.

Ejercicio

Muestra que el estimador de MCO no es insesgado en el modelo con efectos fijos.

El modelo de efectos fijos toma en cuenta la posible correlación entre \(\alpha_i\) y las variables explicativas. Para esto, tenemos dos posibilidades equivalentes:

• Estimar explícitamente el efecto fijo, \(\alpha_i\).

• Eliminar el efecto fijo, \(\alpha_i\).

Para estimar explícitamente el efecto fijo, basta con definir una matriz \(\mathbf{D}\) formada de \(N\) variables dummy, una por cada unidad de observación:

\[ \mathbf{D}_{NT\times T}=\mathbf{N}\otimes \mathbf{i}_{T} \]

Esto nos permite correr por MCO el siguiente modelo:

\[ \mathbf{y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{D}\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{u} \]

Este modelo se conoce como modelo de mínimos cuadrados con variable binaria.

Por ejemplo, el modelo de las aerolíneas sería ahora:

\[ \begin{align} C_{it}&=\alpha_1+\alpha_2D_{2t}+\alpha_3D_{3t}+\alpha_4D_{4t}+\alpha_5D_{5t}\\ & \quad \quad \quad+\beta_2Q_{it}+\beta_3PF_{it}+\beta_4LF_{it}+u_{it}\\[5pt] i&=1,\ldots,6\\[5pt] t&=1,\ldots,15 \end{align} \]

La estimación por MCO del modelo de aerolíneas con variables dummy resulta en:

## Pooling Model
## 
## Call:
## plm(formula = C ~ Q + PF + LF + factor(I) - 1, data = airlines, 
##     model = "pooling")
## 
## Balanced Panel: n = 6, T = 15, N = 90
## 
## Residuals:
##      Min.   1st Qu.    Median   3rd Qu.      Max. 
## -551782.9 -159258.6    1796.2  137225.9  499296.1 
## 
## Coefficients:
##               Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
## Q           3.3190e+06  1.7135e+05 19.3694 < 2.2e-16 ***
## PF          7.7307e-01  9.7319e-02  7.9437 9.698e-12 ***
## LF         -3.7974e+06  6.1377e+05 -6.1869 2.375e-08 ***
## factor(I)1 -1.3124e+05  3.5078e+05 -0.3741 0.7092857    
## factor(I)2  4.7050e+05  3.0908e+05  1.5223 0.1318389    
## factor(I)3  1.2059e+06  3.3236e+05  3.6285 0.0004975 ***
## factor(I)4  1.6464e+06  3.1835e+05  5.1716 1.644e-06 ***
## factor(I)5  1.6970e+06  3.3478e+05  5.0691 2.477e-06 ***
## factor(I)6  1.5752e+06  3.0732e+05  5.1258 1.975e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Total Sum of Squares:    1.2647e+14
## Residual Sum of Squares: 3.5865e+12
## R-Squared:      0.97164
## Adj. R-Squared: 0.96884
## F-statistic: 592.953 on 9 and 81 DF, p-value: < 2.22e-16

La otra opción para tratar con los efectos fijos es eliminarlos del modelo. Una posibilidad es calcular primeras diferencias:

\[ \begin{align} \Delta y_{it}=&\beta_1\Delta x_{it}^1+\beta_2\Delta x_{it}^2+\ldots+\beta_k \Delta x_{it}^k+\Delta u_{it}\\[5pt] \Delta z_{it}=&z_{it}-z_{it-1}\\[5pt] z_{it}=&\{y_{it},\:x_{it}^j,\:u_{it}\} \end{align} \]

Para ver la lógica de esto, suponemos por un momento que \(T=2\). En este caso tenemos:

\[ \begin{align} y_{i1}=\mathbf{x}_{i1}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{z}_i\boldsymbol{\delta}+u_{i1}\\[5pt] y_{i2}=\mathbf{x}_{i2}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{z}_i\boldsymbol{\delta}+u_{i2} \end{align} \]

Ahora, consideramos la siguiente combinación lineal de \(y_{i1}\) y \(y_{i2}\), tal que eliminen los efectos fijos:

\[ \begin{align} y_{i1}-y_{i2}=&(\mathbf{x}_{i2}-\mathbf{x}_{i1})\boldsymbol{\beta}+(\mathbf{z}_i-\mathbf{z}_i)\boldsymbol{\delta}+(u_{i2}-u_{i1})\\[5pt] \Delta\mathbf{y}=& \Delta \mathbf{x}\boldsymbol{\beta}+\Delta \mathbf{z}\boldsymbol{\delta}+\Delta \mathbf{u}\\[5pt] =&\Delta \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \Delta \mathbf{\eta} \end{align} \]

Para esta transformación tenemos que:

\[ \mathbb{E}[\Delta\mathbf{X}'\Delta\eta]=0\; ! \]

Ejercicio

Muestra que para cualquier número de periodos, el estimador de primeras diferencias se puede obtener si post-multiplicamos el vector:

\[ \begin{bmatrix} y_{i1} & y_{i2} & \ldots & y_{iT} \end{bmatrix}_{1\times T} \]

por la matriz:

\[ \mathbf{F}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{bmatrix}_{T\times(T-1)} \]

La estimación por MCO del modelo de aerolíneas en primeras diferencias resulta en:

## Oneway (individual) effect First-Difference Model
## 
## Call:
## plm(formula = C ~ Q + PF + LF + factor(I), data = airlines, model = "fd")
## 
## Balanced Panel: n = 6, T = 15, N = 90
## Observations used in estimation: 84
## 
## Residuals:
##    Min. 1st Qu.  Median 3rd Qu.    Max. 
## -232631  -58504  -25086   31884  493212 
## 
## Coefficients:
##                Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
## (Intercept)  7.3268e+04  1.6544e+04  4.4286 2.975e-05 ***
## Q            1.1493e+06  2.1346e+05  5.3842 7.099e-07 ***
## PF           5.7761e-01  1.3371e-01  4.3197 4.449e-05 ***
## LF          -1.7024e+06  4.7366e+05 -3.5941  0.000561 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Total Sum of Squares:    1.5613e+12
## Residual Sum of Squares: 9.9318e+11
## R-Squared:      0.36388
## Adj. R-Squared: 0.34002
## F-statistic: 15.2539 on 3 and 80 DF, p-value: 6.1466e-08

De nuestro análisis anterior deducimos que:

• Transformando los datos del modelo, podemos obtener estimadores consistentes aun cuando los estimadores de MCO ecuación por ecuación sean sesgados.

• Sin embargo, cuando calculamos los estimadores de efectos fijos no podemos recuperar los estimadores de cualquier variable que no dependa del tiempo.

• El estimador de efectos fijos es robusto aun cuando se excluyan variables que no dependan del tiempo.

• Cuando el modelo de efectos aleatorios es válido, el modelo de efectos fijos aun produce estimadores consistentes.

Consideremos nuevamente el modelo:

\[ y_{it}=\mathbf{x}_{it}\boldsymbol{\beta}+\alpha_i+\eta_{it} \]

Otra opción para eliminar el efecto individal consiste en calcular el estimador within:

\[ \begin{align} \mathbf{b}_W=&(\mathbf{X}'\mathbf{M}_D\mathbf{X})'(\mathbf{X}'\mathbf{M}_D\mathbf{y})\\[5pt] \mathbf{M}_D=&\mathbf{I}-\mathbf{D}(\mathbf{D}'\mathbf{D})\mathbf{D}'\\[5pt] \mathbf{D}=&\mathbf{I}_N \otimes \mathbf{i}_T \end{align} \]

Ejercicio

Muestra que el estimador within elimina los efectos fijos, \(\alpha_i\), del modelo original.

Pista. Nota como el modelo con efectos fijos puede escribirse en forma matricial como

\[ \mathbf{y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\mathbf{D}\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\eta} \]

Nota. Cuando usamos el estimador within para estimar los efectos fijos, los errores estándar tienen que corregirse. Los errores estándar correctos se calculan a partir de:

\[ \mathbf{\Omega}_{bw} = \sigma_\eta^2(\mathbf{X}'\mathbf{M}_D \mathbf{X})' \]

donde el estimador de \(\sigma_\eta\) deberia calcularse como:

\[ \hat{\sigma}_\eta^2=\frac{\mathbf{u}'_W\:\mathbf{u}_W}{NT-N-K} \]

Sin embargo, la computadora calcula este estimador como (¿Por qué?):

\[ \hat{\sigma}_{\text{computadora}}^2=\frac{\mathbf{u}'_W\:\mathbf{u}_W}{NT-K} \]

Entonces para corregir los grados de libertad calculamos:

\[ \hat{\sigma}_\eta^2=\frac{NT-K}{NT-NK-K} \; \hat{\sigma}_{\text{computadora}}^2 \]

La estimación por MCO del modelo de aerolíneas con efectos fijos versión within resulta en:

## Oneway (individual) effect Within Model
## 
## Call:
## plm(formula = C ~ Q + PF + LF, data = airlines, model = "within")
## 
## Balanced Panel: n = 6, T = 15, N = 90
## 
## Residuals:
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
## -551783 -159259    1796       0  137226  499296 
## 
## Coefficients:
##       Estimate  Std. Error t-value  Pr(>|t|)    
## Q   3.3190e+06  1.7135e+05 19.3694 < 2.2e-16 ***
## PF  7.7307e-01  9.7319e-02  7.9437 9.698e-12 ***
## LF -3.7974e+06  6.1377e+05 -6.1869 2.375e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Total Sum of Squares:    5.0776e+13
## Residual Sum of Squares: 3.5865e+12
## R-Squared:      0.92937
## Adj. R-Squared: 0.92239
## F-statistic: 355.254 on 3 and 81 DF, p-value: < 2.22e-16

Normalmente, los resultados de estimar un modelo con efectos fijos y un modelo con efectos aleatorios son diferentes. Entonces, ¿cuál de los dos modelos debemos elegir?

Como hemos dicho:

• Si los efectos individuales no están correlacionados con las variables explicativas, el estimador de efectos aleatorios es consistente y eficiente. El estimador de efectos fijos es consistente, pero no eficiente.

• Si los efectos individuales están correlacionados con las variables explicativas, el estimador de efectos fijos es consistente y eficiente. El estimador de efectos aleatorios es inconsistente.

La prueba de Wu-Hausman consiste en calcular el estadístico:

\[ H=(\mathbf{b}_{RE}-\mathbf{b}_{FE})'(\boldsymbol{\Sigma}_{FE}-\boldsymbol{\Sigma}_{RE})^{-1}(\mathbf{b}_{RE}-\mathbf{b}_{FE}) \]

Y plantear la siguiente:

\[ \begin{align} H_0 &: \quad \text{Modelo con efectos aleatorios}\\ H_1 &: \quad \text{Modelo sin efectos aleatorios} \end{align} \]

Se puede mostrar que si \(H_0\) es verdadero:

\[ H\:\sim\; \chi_k^2 \]

En el ejemplo de las aerolíneas tenemos:

## 
##  Hausman Test
## 
## data:  C ~ Q + PF + LF
## chisq = 60.87, df = 3, p-value = 3.832e-13
## alternative hypothesis: one model is inconsistent

Es importante resaltar que aun si rechazamos \(H_0\) en la prueba de Wu-Hausman no podemos estar completamente seguros de que el modelo verdadero es el de efectos fijos. La única conclusión que podemos derivar de la prueba de Wu-Hausman es que la diferencia entre los dos estimadores \(\mathbf{b}_{RE}\) y \(\mathbf{b}_{FE}\) no es estadísticamente significativa.

Otra prueba que suele aplicarse es la de Breush-Pagan. En esta:

\[ \begin{align} H_0 &: \quad \sigma_\alpha^2=0 \implies \text{No hay efectos aleatorios}\\[5pt] H_a &: \quad \sigma_\alpha^2\neq0 \implies \text{Hay efectos aleatorios} \end{align} \]

Se puede mostrar que si \(H_0\) es verdadero:

\[ BP\: \sim \; \chi_1^2 \]

En el ejemplo de las aerolíneas tenemos:

## 
##  Lagrange Multiplier Test - (Breusch-Pagan)
## 
## data:  C ~ Q + PF + LF
## chisq = 0.61309, df = 1, p-value = 0.4336
## alternative hypothesis: significant effects

Nota que ambas pruebas indican la conveniencia de utilizar un modelo de efectos fijos.

Otra prueba que suele realizarse cuando estimamos modelos con datos de panel es la prueba de Welch, la cual nos permite detectar si existe heterogeneidad entre unidades. En particular:

\[ \begin{align} H_0 &: \quad \mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_N \\[5pt] H_a &: \quad \text{Al menos una media de grupo es diferente} \end{align} \]

El estadístico de Welch se construye como:

\[ W= \frac{ \displaystyle \sum_{i=1}^{N} w_i(\bar{y}_i-\bar{y})^2/(N-1) }{ \displaystyle 1+\frac{2(N-2)}{N^2-1} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{T_i-1} \left(1-\frac{w_i}{\sum_{j=1}^{N}w_j}\right)^2 }; \quad \quad w_i=\frac{T_i}{s_i^2} \]

La prueba de Welch contrasta si las medias de los grupos pueden considerarse iguales, permitiendo que las varianzas difieran entre grupos. Si rechazamos \(H_0\), tenemos evidencia de que las unidades no son homogéneas entre sí.

Bajo \(H_0\) tenemos:

\[ W \sim F_{N-1,\nu} \]

donde \(\nu\) es un número aproximado de grados de libertad dado por:

\[ \nu= \frac{N^2-1}{ 3\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{T_i-1} \left(1-\frac{w_i}{\sum_{j=1}^{N}w_j}\right)^2 } \]

Si rechazamos \(H_0\), tenemos evidencia de heterogeneidad entre las unidades de corte transversal. Esto sugiere que el modelo agrupado podría ser demasiado restrictivo y que conviene considerar modelos con efectos individuales.

Utiliza los datos: E212–charity.csv para hacer un análisis completo utilizando los modelos de datos de panel. El objetivo es determinar cuáles son las variables que determinan el monto donado a la caridad.

\[ \begin{align} &\textbf{charity}: \text{Suma de dinero destinado a la caridad.}\\ &\textbf{income}: \text{Ingreso bruto.}\\ &\textbf{price}: \text{1-tasa impositiva al ingreso.}\\ &\textbf{age}: \text{Variable dummy = 1 si la persona tiene más de 64 años.}\\ &\textbf{ms}: \text{Variable dummy = 1 si la persona está casada.}\\ &\textbf{deps}: \text{Número de dependientes económicos.} \end{align} \]