Antes, hemos supuesto que la varianza de los errores, \(\sigma^2\), era constante. Sin embargo, las series de tiempo económicas y financieras a menudo violan este supuesto.

Existen dos hechos estilizados clave que motivan la necesidad de modelos de volatilidad.

Agrupamiento de Volatilidad (Volatility Clustering)

Muchas series financieras exhiben períodos de calma seguidos de períodos de alta turbulencia. Los periodos de alta (baja) turbulencia tienden a agruparse.

Colas Pesadas (Leptokurtosis)

Las distribuciones de los rendimientos financieros suelen tener colas más pesadas que una distribución normal: los eventos extremos (grandes caídas o subidas) ocurren con más frecuencia de lo que se esperaría bajo normalidad.

Estos hechos estilizados sugieren que la varianza no es constante a lo largo del tiempo, sino que depende de la información disponible en el pasado. Esto es la heteroscedasticidad condicional

Sea \(y_t\) una serie de tiempo que sigue un proceso del tipo:

\[ \begin{align} y_t &= \mu_t + \varepsilon_t\\ \varepsilon_t & \sim WN(0,\sigma^2) \end{align} \] donde \(\mu_t\) es una función del tiempo (por ejemplo, un proceso ARIMA).

A diferencia de lo que hemos hecho antes, supondremos ahora que:

\[ \begin{align} \varepsilon_t &= \upsilon_t \sqrt{h_t}\\ \upsilon_t &\sim iid (0,1)\\ h_t &= \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \dots + \alpha_m \varepsilon_{t-m}^2\\ \alpha_0&>0; \ \alpha_i \geq 0; \ i=1,\dots,m \\ \end{align} \]

El supuesto anterior implica que, aunque la varianza no condicional de \(\varepsilon_t\) sigue siendo constante, la varianza condicional depende de sus valores pasados. Esto es:

\[ \begin{align} \mathbb{E}(\varepsilon_t^2|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},\dots,\varepsilon_{t-m}) & = \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \dots + \alpha_m \varepsilon_{t-m}^2 \\ & =h_t \end{align} \] En este caso decimos que:

\[ \varepsilon_{t} \sim \text{ARCH}(m) \]

Nota

Para que el proceso que sigue \(\varepsilon_t\) sea estacionario, es necesario que las raíces del polinomio:

\[ 1- \alpha_1 L - \alpha_2 L^2 - \dots - \alpha_m L^m =0 \] se encuentren fuera del círculo unitario. Si todos los \(\alpha_i\) son no-negativos, esto es equivalente a:

\[ \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_m <1 \]

Además, en este caso, es fácil demostrar que:

\[ \begin{align} \sigma^2 &=\mathbb{E}(\varepsilon_t^2) \\ &=\frac{\alpha_0}{1-\sum_{i=1}^m \alpha_i} \end{align} \]

Los coeficientes \(\alpha_i\) actúan como pesos que determinan cuánto influyen los choques pasados en la volatilidad actual.

• Si los \(\alpha_i\) son grandes, la respuesta de la varianza condicional a los choques es persistente.
• Si los \(\alpha_i\) son pequeños, los efectos de los choques pasados se disipan rápidamente.

Por ejemplo, consideremos un ARCH(1):

\[ h_t = \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 \]

• Si \(\alpha_1\) es grande (cercano a 1), un choque grande en \(\varepsilon_{t-1}\) aumenta \(h_t\) de manera persistente.
  
• Esto produce el agrupamiento de volatilidad observado en los datos financieros.
  
• Los períodos de alta (baja) varianza tienden a ser seguidos por otros de alta (baja) varianza.

Nota que, aun si \(\upsilon_t \sim N(0,1)\), los errores \(\varepsilon_t\) de un modelo ARCH presentan colas más pesadas que la normal.

Entonces:

• Los valores grandes de \(|\varepsilon_t|\) ocurren con mayor frecuencia de la esperada bajo normalidad.
  
• Esto se debe a que \(h_t\) cambia en el tiempo: los periodos con varianza alta generan choques más grandes.

Nota. La leptocurtosis en los modelos ARCH surge endógenamente debido a la variabilidad de \(h_t\). No es necesario suponer una distribución no normal de los errores para obtener colas pesadas.

Los modelos ARCH capturan el agrupamiento de volatilidad, pero pueden requerir muchos rezagos para describir adecuadamente la dinámica de la varianza.

Una forma más parsimoniosa de modelar esta dinámica es permitir que la varianza dependa también de sus propios valores pasados.

Consideremos un modelo GARCH(1,1):

\[ \begin{align} \varepsilon_t &= \upsilon_t \sqrt{h_t}, \\ \upsilon_t &\sim iid(0,1) \\ h_t &= \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}\\ \alpha_0&>0; \ \alpha_1 \geq 0; \ \beta_1\geq 0 \end{align} \]

Nota que este modelo combina:

• Efectos ARCH: \(\varepsilon_{t-1}^2\)
• Persistencia en la volatilidad: \(h_{t-1}\)

En un modelo GARCH(1,1) la suma \(\alpha_1 + \beta_1\) mide la persistencia de la volatilidad:

• Si es pequeña, los choques se disipan rápidamente
• Si es cercana a 1, los choques afectan la volatilidad por mucho tiempo

Además:

\[ \alpha_1 + \beta_1 < 1 \]

es la condición para que el proceso sea estacionario.

En general, un modelo \(GARCH(r,m)\) se escribe como:

\[ \begin{align} \varepsilon_t &= \upsilon_t \sqrt{h_t}, \\ \upsilon_t &\sim iid(0,1) \\ h_t &= \alpha_0 + \sum_{i=1}^{m} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{r} \beta_j h_{t-j}\\ \alpha_0&>0; \alpha_i \ge 0; \ \beta_j \ge 0. \end{align} \]

Aquí:

• Los términos \(\varepsilon_{t-i}^2\) capturan los choques recientes (efectos ARCH).
• Los términos \(h_{t-j}\) capturan la persistencia de la volatilidad (efectos GARCH).

Nota

Para que el proceso sea estacionario, se requiere:

\[ \sum_{i=1}^{m} \alpha_i + \sum_{j=1}^{r} \beta_j < 1. \]

Consideremos un GARCH(\(1,1\)):

\[ h_t = \alpha_0 + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1}, \qquad \alpha_0>0,\ \alpha_1\ge0, \ \beta_1\ge0. \]

Observa que:

• Un choque grande en \(\varepsilon_{t-1}\) incrementa \(h_t\).
• A diferencia del modelo ARCH, la volatilidad también depende de su propio pasado \(h_{t-1}\).
• Si \(\alpha_1+\beta_1\) es grande (cercano a \(1\)), este efecto persiste durante varios periodos.
• Los periodos de alta (baja) volatilidad tienden a ser seguidos por otros similares. Esto es el agrupamiento de volatilidad.

Nota. El término \(\beta_1 h_{t-1}\) extiende la memoria de la volatilidad sin aumentar el número de rezagos del modelo.

Al igual que en los modelos ARCH, aun si \(\upsilon_t \sim N(0,1)\), los errores \(\varepsilon_t\) de un modelo GARCH presentan colas más pesadas que una distribución normal.

Por ejemplo, para un GARCH(\(1,1\)) tenemos que:

• Los valores grandes de \(|\varepsilon_t|\) son más frecuentes que bajo normalidad.
  
• La leptocurtosis surge endógenamente de la variabilidad de \(h_t\).
• Una mayor persistencia de la volatilidad, es decir, mayores valores de \(\alpha_1+\beta_1\), suele estar asociada con colas más pesadas.

Antes de aplicar pruebas formales, puede observarse la heteroscedasticidad condicional de manera gráfica. Para esto:

1. Estimamos el modelo para \(y_t\) y recuperamos sus residuales: \(e_t\).
2. Examinamos el correlograma de \(e_t^2\). Si se observan patrones de agrupamiento o autocorrelaciones significativas, tenemos evidencia de efectos ARCH/GARCH.

Prueba ARCH-LM de Engle (1982). Consideremos un modelo para \(y_t\).

1. Estimamos el modelo y recuperamos sus residuales: \(e_t\).
2. Ahora estimamos: \[ e_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 e_{t-1}^2 + \alpha_2 e_{t-2}^2 + \dots + \alpha_m e_{t-m}^2 + u_t \]

3. Utilizamos el estadístico \(TR^2\) para probar la siguiente hipótesis:

   \[ \begin{align} H_0:& \ \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_m = 0 \\ H_1: &\ \text{Al menos un }\alpha_i\neq 0\\ TR^2 & \sim \chi^2_m \end{align} \]

Nota. La prueba ARCH–LM contrasta la presencia de heteroscedasticidad condicional, sin distinguir entre estructuras ARCH o GARCH.

Los modelos con efectos ARCH/GARCH se estiman por el método de máxima verosimilitud.

En la práctica:

• Se asume una distribución para \(\upsilon_t\) (normal u otra)
• La estimación se realiza numéricamente
• Naturalmente, el software se hace cargo de todo.

En los modelos ARCH/GARCH, el objetivo es pronosticar la varianza condicional:

\[ \widehat{h}_{T+s\mid T} = \mathbb{E}(h_{T+s}\mid \Omega_T) \] donde \(\Omega_T\) es el conjunto de información disponible hasta el tiempo \(T\).

Nota. Estos pronósticos se obtienen de forma recursiva, utilizando la estructura del modelo.

Para un \(ARCH(1)\) tenemos que:

• El pronóstico depende de los choques recientes
• Conforme aumenta el horizonte, el pronóstico converge a: \[ \begin{align} \lim_{s\to\infty}\widehat{h}_{T+s\mid T} &= \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}\\ &= \sigma^2 \end{align} \]
• Cuanto mayor sea \(\alpha_1\), más lentamente se alcanza la convergencia.
• Si \(\alpha_1\) es cercano a \(1\), los choques afectan la volatilidad por más tiempo.

Para un \(GARCH(1,1)\) tenemos que:

• Conforme aumenta el horizonte, el pronóstico converge a: \[ \begin{align} \lim_{s\to\infty}\widehat{h}_{T+s\mid T} &= \frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}\\ &= \sigma^2 \end{align} \]
• El término \(\alpha_1+\beta_1\) determina la persistencia de la volatilidad.
• Si \(\alpha_1+\beta_1\) es cercano a \(1\), los choques se disipan lentamente.

En la práctica, el comportamiento de los pronósticos en GARCH suele ser más realista debido a la persistencia adicional.

Considera la tasa de rendimiento diario de la NYSE U.S. 100 del 4 de enero del 2000 al 16 de julio del 2012:

Ajustamos el siguiente modelo:

Finalmente, un pronóstico de \(h_t\) para \(s=20\) periodos hacia adelante resulta en:

Considera la tasa de rendimiento diario de la NYSE U.S. 100 del 4 de enero del 2000 al 16 de julio del 2012. Si ahora estimamos un GARCH(\(1,1\)):

Considera el rendimiento del precio spot semanal del Brent (15/may/1987–1/nov/2013).

Ajustamos el siguiente modelo:

Finalmente, un pronóstico de \(h_t\) para \(s=200\) periodos hacia adelante resulta en:

Nota que, a diferencia del del NYSE, aquí volatilidad estimada es más persistente y el pronóstico tarda más en converger a la varianza no condicional.