Recordemos que para que una serie de tiempo, \(y_t\), sea estacionaria (en covarianza), es necesario que:

• Su media y varianza sean constantes. Esto es, para todo \(t\in\mathbb{Z}\):

\[ \begin{align} \mathbb{E}(y_t) &= \mu;\\ \mathbb{V}ar(y_t)&= \gamma_0<\infty \end{align} \]

• Su función de autocovarianza dependa solo del desfase \(h\) y no del tiempo \(t\):

\[ \gamma(t,\tau) = \gamma(h); \ h=|t-\tau| \ \in \mathbb{Z} \]

Las siguientes series de tiempo podrían ser estacionarias:

¿Qué pasa si las series de tiempo presentan un patrón estacional? Por ejemplo:

Los modelos con patrón estacional violan directamente la condición de estacionariedad, esto es debido a que:

\[ \mathbb{E}(y_t) = \mu_s \]

donde \(s\) indica la estación (mes, trimestre, etc.)

El componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Existen dos formas diferentes para incorporar este componente en el modelo:

• Componente determinista. Incorporamos explícitamente en el modelo un patrón estacional.

• Componente estocástico. El patrón estacional proviene de una raíz unitaria estacional.

Componente determinista vs. Componente estocástico

Aunque los dos tipos de componente estacional son visualmente parecidos, las implicaciones teóricas y prácticas son diferentes:

• En un modelo con componente estacional determinista, los shocks tienen efectos transitorios. En un modelo con componente estacional estocástico, los shocks tienen efectos persistentes.

• El procedimiento para remover el componente estacional y hacer la serie estacionaria es distinto para cada caso.

Las siguientes series muestran un patrón estacional muy claro:

Para incorporar el componente estacional determinista en el modelo, supongamos que \(s\) es el número de estaciones en un año. Debemos construir un conjunto de \(s\) variables dummy estacionales. Por ejemplo, si \(s = 4\) (datos trimestrales):

\[ \begin{align} D_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \dots \end{pmatrix}\\ D_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots \end{pmatrix}\\ D_3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots \end{pmatrix}\\ D_4 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \dots \end{pmatrix}\\ \end{align} \]

El modelo estacional puro es:

\[ y_t = \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \]

Básicamente, tenemos un modelo en el que el intercepto es diferente en cada estación. Los coeficientes \(\gamma_i\) se conocen como factores estacionales.

Nota. Como siempre, debemos tener cuidado de no caer en la trampa de las dummies.

También podemos incluir una tendencia determinista en un modelo estacional. Por ejemplo, si aumentamos el modelo estacional puro con una tendencia lineal tenemos:

\[ y_t = \beta_1 t + \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \] También es posible tener modelos más complejos:

\[ y_t = \beta_1 t + \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \sum_{i=1}^{\nu_1} \delta_i^{HD} HDV_{it} + \sum_{i=1}^{\nu_2} \delta_i^{TD} TDV_{it} + \varepsilon_t \]

donde \(HDV\) representa periodos de fiesta relevantes, y \(TDV\) son periodos de comercio relevantes. Estas también son variables dummy.

Los estimadores de los coeficientes de todos estos modelos pueden obtenerse por MCO.

Por ejemplo, considera las ventas de gasolina en Estados Unidos (en dólares):

Ejercicio

Considera el modelo:

\[ y_t = \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \]

Muestra que \(y_t\) no es estacionario.

Nota

Considera el modelo:

\[ y_t = \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \]

Una forma de hacer que este modelo sea estacionario, consiste en calcular:

\[ \begin{align} y_t^\ast &= y_t - \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} \\ & = \varepsilon_t \end{align} \]

Esta transformación puede hacerse operacional reemplazando los \(\gamma_i\) por sus estimadores de MCO.

Ejercicio

A diferencia de los modelos con tendencia, aplicar diferencias a un modelo con componente estacional no hace que la serie de tiempo sea estacionaria. Por ejemplo, considera el modelo:

\[ y_t = \sum_{i=1}^s \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \]

Muestra que \(\Delta y_t\) no es estacionario.

Ejercicio

Considera el modelo con datos trimestrales (\(s=4\)):

\[ y_t = \sum_{i=1}^4 \gamma_i D_{it} + \varepsilon_t \]

Muestra que \(\Delta^4 y_t = y_t - y_{t-4}\) es estacionario. Este es un ejemplo de modelos ARIMA estacionales, también conocidos como modelos SARIMA.

Nota. Los modelos SARIMA nos permiten tratar la estacionalidad estocástica, la cual ocurre cuando el patrón estacional no es constante sino que evoluciona en el tiempo.

Ejemplo

Las técnicas habituales para analizar y pronosticar series de tiempo, aplican también para los modelos con componente estacional (ver modelos ARMA). Por ejemplo, para las ventas de gasolina en Estados Unidos (en dólares) tenemos:

Sea \(y_t\) una serie de tiempo que presenta un patrón estacional estocástico. En este caso, la dependencia serial no ocurre en todos los retardos, sino en aquellos que son múltiplos de \(s\). Por ejemplo:

En el caso de la producción de leche en los Estados Unidos (datos mensuales de enero 1994 a diciembre 2005), la dependencia serial ocurre en cada trimestre (\(s=12\)). ¿Cómo incorporamos esta estructura en el modelo?

Para incorporar la dependencia serial en retardos múltiplos de \(s\), podemos extender los modelos ARMA para incluir retardos estacionales.

Una serie de tiempo, \(y_t\) sigue un proceso MA estacional (SMA) de orden \(Q,s\) o \(MA(Q)_s\) si:

\[ \begin{align} y_t &= \varepsilon_{t} + \Theta_1\varepsilon_{t-s} + \Theta_2\varepsilon_{t-2s}+\dots+ \Theta_Q\varepsilon_{t-Qs};\\ \varepsilon_{t} &\sim iid(0,\sigma^2) \end{align} \]

Por ejemplo, sean \(Q=1\) y \(s=12\). Entonces:

\[ y_t = \varepsilon_{t} + \Theta_1\varepsilon_{t-12} \]

En este caso, se puede demostrar que:

\[ \begin{align} \mu &= \mathbb{E}(y_t)\\ &=0 \end{align} \]

Además:

\[ \gamma_k = \begin{cases} (1+\Theta_1^2)\sigma^2 & \text{si } k=0\\ \Theta_1\sigma^2 & \text{si } k=12\\ 0 & \text{de otra forma }\\ \end{cases} \qquad \rho_k = \begin{cases} 1 & \text{si } k=0\\ \frac{\Theta_1}{1+\Theta_1^2} & \text{si } k=12\\ 0 & \text{de otra forma }\\ \end{cases} \]

Entonces, un proceso \(MA(1)_{12}\) es estacionario.

Los siguientes datos simulan un proceso \(MA(1)_{12}\):

Nota que este proceso es equivalente a un \(MA(12)\) con \(\theta_1=\theta_2=\dots=\theta_11=0\).

Para este proceso tenemos:

Ahora, sean \(Q=2\) y \(s=12\). Entonces:

\[ y_t = \varepsilon_{t} + \Theta_1\varepsilon_{t-12} + \Theta_2\varepsilon_{t-24} \]

Se puede demostrar que:

\[ \begin{align} \mu &= \mathbb{E}(y_t)\\ &=0 \end{align} \]

Además:

\[ \gamma_k = \begin{cases} (1+\Theta_1^2+\Theta_2^2)\sigma^2 & \text{si } k=0\\ (\Theta_1+\Theta_1\Theta_2)\sigma^2 & \text{si } k=12\\ \Theta_2\sigma^2 & \text{si } k=24\\ 0 & \text{de otra forma }\\ \end{cases} \qquad \rho_k = \begin{cases} 1 & \text{si } k=0\\ \frac{\Theta_1+\Theta_1\Theta_2}{1+\Theta_1^2+\Theta_2^2} & \text{si } k=12\\ \frac{\Theta_2}{1+\Theta_1^2+\Theta_2^2} & \text{si } k=24\\ 0 & \text{de otra forma }\\ \end{cases} \]

Nota que este proceso es equivalente a un \(MA(24)\) con \(\theta_1=\theta_2=\dots=\theta_{11}=\theta_{13}, \theta_{14}, \dots,\theta_{23} =0\).

Una serie de tiempo, \(y_t\) sigue un proceso AR estacional (SAR) de orden \(P,s\) o \(AR(P)_s\) si:

\[ \begin{align} y_t &= \Phi_1 y_{t-s} + \Phi_2 y_{t-2s} + \dots + \Phi_P y_{t-Ps} + \varepsilon_{t};\\ \varepsilon_{t} &\sim iid(0,\sigma^2) \end{align} \]

Por ejemplo, sea \(P = 1\) y \(s = 12\). Entonces:

\[ y_t = \Phi_1 y_{t-s} + \varepsilon_{t}; \quad |\Phi_1|<1 \]

En este caso, se puede demostrar que:

\[ \begin{align} \mu &= \mathbb{E}(y_t)\\ &=0 \end{align} \]

Además:

\[ \gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1-\Phi_1^2} \]

y:

\[ \rho_k = \begin{cases} \Phi_1^{k/12} & \text{si } k= 0, 12, 24, \dots \\ 0 & \text{de otra forma } \end{cases} \]

Los siguientes datos simulan un proceso \(AR(1)_{12}\):

Nota que este proceso es equivalente a un \(AR(12)\) con \(\phi_1=\phi_2=\dots=\phi_11=0\).

Para este proceso tenemos:

Para un proceso \(AR(2)_{12}\) se pede demostrar que:

• La función de autocorrelación decrece exponencialmente u oscilatoriamente en los retardos: \(k=12, 24, 36, 48, \dots\)

• La función de autocorrelación parcial es diferente de cero en los retardos \(k=12\) y \(k=24\). Es cero en todos los demás valores de \(k\).

• Un proceso \(AR(2)_{12}\) es equivalente a un \(AR(24)\) con \(\phi_1=\phi_2=\dots=\phi_{11}=\phi_{13}, \phi_{14}, \dots,\phi_{23} =0\).

Una serie de tiempo, \(y_t\) sigue un proceso ARMA estacional (SARMA) de orden \(P,Q, s\) o \(ARMA(P,Q)_s\) si:

\[ \begin{align} y_t &= \Phi_1 y_{t-s} + \Phi_2 y_{t-2s} + \dots + \Phi_P y_{t-Ps} + \varepsilon_{t} + \Theta_1\varepsilon_{t-s} + \Theta_2\varepsilon_{t-2s}+\dots+ \Theta_Q\varepsilon_{t-Qs};\\ \varepsilon_{t} &\sim iid(0,\sigma^2) \end{align} \]

Un proceso \(ARMA(P,Q)_{s}\):

• Es equivalente a un \(ARMA(p,q)\) con autocorrelaciones diferentes de cero en los retardos \(k=s, 2s, 3s, \dots\).

• Es estacionario si y solo si las raíces del polinomio \(\boldsymbol{\Phi}_P(L^s)=0\) se encuentran fuera del círculo unitario.

• Es invertible si y solo si las raíces del polinomio \(\boldsymbol{\Theta}_Q(L^s)=0\) se encuentran fuera del círculo unitario.

Un proceso con componente estacional multiplicativo implica, como su nombre lo indica, multiplicar un proceso \(ARMA(p,q)\) por un proceso \(SARMA(P,Q)_{s}\).

Considera un proceso \(MA(1)\):

\[ \begin{align} y_t &= \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}\\ &= (1+\theta_1 L)\varepsilon_t \end{align} \]

Y considera un proceso \(MA(1)_{12}\):

\[ \begin{align} y_t &= \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-s}\\ &=(1+\Theta_1 L^{12})\varepsilon_t \end{align} \]

Entonces, un proceso \(MA(1) \times MA(1)_{12}\):

\[ \begin{align} y_t &= (1+\theta_1 L)(1+\Theta_1 L^{12})\varepsilon_t\\ &=(1+\theta_1L+\Theta_1 L^{12}+\theta_1\Theta_1L^{13})\varepsilon_t \end{align} \]

O, de forma equivalente:

\[ y_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \Theta_1 \varepsilon_{t-12} + \theta_1\Theta_1\varepsilon_{t-13} \]

Para este proceso, se puede demostrar que:

\[ \mathbb{E}(y_t) = 0 \]

Y que:

\[ \begin{matrix} \rho_1 = \frac{\theta_1}{1+\theta_1^2} & \rho_{11} = \frac{\theta_1\Theta_1}{(1+\theta_1^2)(1+\Theta_1^2)} \\ \rho_{12} = \frac{\Theta_1}{1+\Theta_1^2}& \rho_{13} = \frac{\theta_1\Theta_1}{(1+\theta_1^2)(1+\Theta_1^2)} \end{matrix} \]

Entonces, un proceso \(MA(1) \times MA(1)_{12}\):

• Tiene una FAC que es diferente de cero para los retardos \(k=1\) y \(k=12\).

• Tiene una FAC que es diferente de cero para los retardos \(k=11\) y \(k=13\).

• Es matemáticamente equivalente a un \(MA(13)\) con parámetros: \(\theta_1 = \theta_1\), \(\theta_2=\theta_2=\dots=\theta_{11}=0\) y \(\theta_{13}=\Theta_1\).

Considera un proceso \(MA(1)\):

\[ \begin{align} y_t &= \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}\\ &= (1+\theta_1 L)\varepsilon_t \end{align} \]

Y considera un proceso \(AR(1)_{12}\):

\[ \begin{align} y_t &= \Phi_1 y_{t-12} + \varepsilon_t\\ (1-\Phi_1 L^{12})y_t &=\varepsilon_t \end{align} \]

Entonces, un proceso \(MA(1) \times AR(1)_{12}\):

\[ (1-\Phi_1 L^{12})y_t =(1+\theta_1L)\varepsilon_t \]

O, de forma equivalente:

\[ y_t =\Phi_1 y_{t-12} + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} \]

Entonces, un proceso \(MA(1) \times AR(1)_{12}\):

• Tiene una FAC que es del tipo AR en los retardos \(k=12, 24, 26 \dots\).

• Tiene una FAC que es del tipo MA en el retardo \(k=1\) y en \(k=11, 13, 25,\dots\).

• Es matemáticamente equivalente a un \(ARMA(12,1)\) con parámetros: \(\phi_1=\phi_2=\dots=\phi_{11}=0\), \(\phi_{12}=\Phi_1\) y \(\theta_1 = \theta_1\).

Para los procesos multiplicativos que hemos visto tenemos:

El proceso \(ARMA(p,q) \times ARMA(P,Q)_{s}\) es el más general de los modelos multiplicativos. Se puede demostrar que:

• Es matemáticamente equivalente a un proceso ARMA con los coeficientes de su parte AR caracterizados por \(\boldsymbol{\Phi}^*(L) = \boldsymbol{\Phi}(L) \boldsymbol{\Phi}_P (L^s)\) y los coeficientes de su parte MA caracterizados por \(\boldsymbol{\Theta}^*(L) = \boldsymbol{\Theta}(L) \boldsymbol{\Theta}_Q(L^s)\).

• Debido a esta equivalencia, podemos utilizar los mismos métodos de especificación, ajuste, diagnósticos, etc., de un modelo ARMA.

Considera los siguientes datos sobre el uso de transporte (autobús y tren ligero) en Denver y Colorado. Los datos van desde agosto 2000 hasta marzo 2006. (Los datos se encuentran en escala logarítmica).

La siguiente figura presenta la FAC y la FACP. Estos sugieren un modelo \(ARMA(0,3) x ARMA(1,0)_{12}\):

Utilizamos el periodo agosto 2000 a julio 2005 para ajustar el modelo y utilizamos el resto de los datos para analizar qué tan bueno es el pronóstico:

Recordemos que las primeras diferencias de una serie de tiempo, \(y_t\), se calculan como:

\[ \begin{align} \Delta y_t &= y_t - y_{t-1}\\ &=(1-L)y_t \end{align} \] Podemos diferenciar la serie de tiempo \(d\) veces:

\[ \begin{align} \Delta^d y_t &=(1-L^d)y_t \end{align} \]

Considera el proceso no estacionario:

\[ \begin{align} y_t &= s_t + \varepsilon_t \\ s_t &= s_{t-12}+u_t\\ u_t &\sim iid(0,\sigma^2_u) \end{align} \]

Si tomamos primeras diferencias obtenemos:

\[ \Delta y_t = (s_{t-12}-s_{t-13}) + (u_t - u_{t-1}) + (\varepsilon_t - \varepsilon_{t-1}) \]

Sin embargo, este proceso sigue siendo no estacionario. ¿Por qué?

Definimos el operador de diferencias estacionales, \(\Delta_s\):

\[ \begin{align} \Delta_s y_t &= y_t - y_{t-s} &=(1-L^s)y_t \end{align} \]

Recuerda: si tenemos datos mensuales, \(s=12\), si tenemos datos trimestrales, \(s=4\), etc.

Considera el proceso no estacionario:

\[ \begin{align} y_t &= s_t + \varepsilon_t \\ s_t &= s_{t-12}+u_t\\ u_t &\sim iid(0,\sigma^2_u) \end{align} \]

Si tomamos primeras diferencias estacionales obtenemos:

\[ \Delta_{12} y_t = u_t + \varepsilon_t -\varepsilon_{t-12} \]

Se puede mostrar que este proceso tiene la misma FAC que un \(MA(1)_{12}\).

Datos sobre la producción de leche en Estados Unidos:

Entonces, podemos extender los modelos SARMA para incorporar las dos fuentes de no estacionariedad.

Supongamos que \(\varepsilon_t \sim iid(0,\sigma^2)\). Un modelo ARIMA con componente estacional multiplicativo (SARIMA), o \(ARIMA(p,d,q) \times ARIMA(P,D,Q)_s\):

\[ \boldsymbol{\Phi}(L)\boldsymbol{\Phi}_P(L^s)\Delta^d \Delta_s^D y_t = \boldsymbol{\Theta}(L)\boldsymbol{\Theta}_Q(L^s)\varepsilon_t \]

Se puede demostrar que:

\[ y_t \sim ARIMA(p,d,q) \times ARIMA(P,D,Q)_s \]

si y solo si:

\[ \Delta^d \Delta_s^D y_t \sim ARMA(p,q) \times ARMA(P,Q)_s \]

Funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial para las primeras diferencias combinadas sobre la producción de leche en Estados Unidos:

De las FAC y FACP anteriores, los siguientes modelos podrían resultar adecuados:

• \(ARIMA (0,1,0) \times ARIMA (0,1,1)_{12}\)

• \(ARIMA (0,1,0) \times ARIMA (3,1,0)_{12}\)

¿Por qué?

Utilizamos el periodo enero 1994 a diciembre 2004 para ajustar el modelo y utilizamos el resto para analizar qué tan bueno es el pronóstico: