El modelo de regresión lineal en un contexto de series de tiempo es:

\[ \begin{align} y_t &= \beta_1 + \beta_2 x_t + \varepsilon_t;\\ \varepsilon_t &\sim WN(0,\sigma^2) \end{align} \]

¿Cómo usamos este modelo para hacer predicciones?

Podemos utilizar el modelo de regresión lineal para hacer un pronóstico de \(y_t\) condicional a los supuestos sobre la variable \(x_t\). Por ejemplo:

\[ \mathbb{E}\left(y_{T+h}|x_{T+h}\right)^\ast = \beta_1 + \beta_2 x_{T+h}^\ast \]

donde hemos supuesto que el valor de \(x_t\) en el periodo \(T+h\) es \(x_{T+h}^*\). Este tipo de análisis se conoce en la práctica como análisis de escenarios o análisis de contingencia.

Por supuesto, si suponemos que \(\varepsilon_t\) es un ruido blanco gaussiano, entonces la distribución condicional del pronóstico es:

\[ y_{T+h}|x_{T+h}^\ast \sim \mathcal{N}(y_{T+h}|x_{T+h}^\ast,\sigma^2) \]

Esto nos permite calcular intervalos de confianza para la predicción.

Naturalmente, el pronóstico que acabamos de realizar no está exento de incertidumbre. Para ver esto, estimamos el modelo por MCO y lo evaluamos en \(x_{T+h}^*\). En este caso, el pronóstico para el periodo \(T+h\) es:

\[ \hat{y}_{T+h,T}|x_{T+h}^\ast = b_1 + b_2 x_{T+h}^\ast, \\ \] y el residual:

\[ \begin{align} e_{T+h,T} &= y_{T+h} - \hat{y}_{T+h,T}|x_{T+h}^\ast\\ & = (\beta_1 - b_1) + (\beta_2 - b_2) x_{T+h}^\ast + \varepsilon_{T+h} \end{align} \]

Si calculamos la varianza del residual:

\[ \mathbb{V}ar(e_{T+h,T}) = \mathbb{V}ar(b_1) + x_{T+h}^{\ast 2}\mathbb{V}ar(b_2) + 2x_{T+h}\mathbb{C}ov(b_1,b_2) + \sigma^2 \] donde los primeros dos términos reflejan la incertidumbre en los parámetros del modelo. Entonces, para construir un intervalo de confianza para el pronóstico que refleje esta incertidumbre:

\[\hat{y}_{T+h}|x_{T+h}^\ast \sim \mathcal{N}(\hat{y}_{T+h}|x_{T+h}^\ast,\mathbb{V}ar(b_1) + x_{T+h}^{\ast 2}\mathbb{V}ar(b_2) + 2x_{T+h}\mathbb{C}ov(b_1,b_2) + \sigma^2)\]

En ocasiones deseamos encontrar el mejor pronóstico posible para \(y_t\). Esto es, un pronóstico no condicional. Para hacer esto, es necesario insertar un pronóstico óptimo para \(x_t\), \(x_{T+h,T}\), en la ecuación.

\[y_{T+h,T} = \beta_1 + \beta_2 x_{T+h,T}\]

Naturalmente, no siempre contamos con este valor futuro de \(x_t\) (tenemos un modelo para \(y_t\), no para \(x_t\)).

Una solución consiste en estimar \(y_t\) usando como regresores los valores pasados de \(x_t\): \(x_{t-h}, x_{t-h-1}, x_{t-h-2},\dots\). Por ejemplo, si deseamos pronosticar un periodo hacia adelante, podemos usar el modelo:

\[y_t = \beta_1 + \beta_2 x_{t-1} + \varepsilon_t\]

Por supuesto, es posible incluir más retardos de \(x_t\). También, es importante resaltar que si el objetivo es pronosticar \(y_t\) \(h\) periodos hacia adelante, las variables \(x_t\) deben retardarse al menos \(h\) periodos.

El modelo anterior puede generalizarse como (nota el cambio de notación):

\[ y_t = \phi_0 + \sum_{i=1}^{N_x}\gamma_i x_{t-i} + \varepsilon_t \]

En este caso decimos que \(y_t\) depende de los rezagos distribuidos de \(x_t\). Pero, ¿cuánto vale \(N_x\)?

Nota. ¿Por qué este modelo tendrá este nombre?

Para elegir el valor de \(N_x\) tenemos varias opciones:

• Usar pruebas de significancia estadística.
• Usar los criterios de información (AIC y BIC).
• Revisar el comportamiento de los residuales.

Los modelos con rezagos distribuidos (si las series son estacionarias) pueden estimarse por MCO o por MCG.

Los modelos con rezagos distribuidos pueden generalizarse aun más:

\[ y_t = \phi_0 + \sum_{i=1}^{N_y}\phi_i y_{t-i} + \sum_{j=1}^{N_x}\gamma_j x_{t-j} + \varepsilon_t \]

En este modelo hemos agregado retardos de la variable dependiente. Este es un modelo AR con rezagos distribuidos (ARDL) de orden \(N_y, N_x\). Este puede estimarse (si las series son estacionarias)) por Máxima Verosimilitud, MCO o MCG.

Consideremos el siguiente modelo:

\[ u_t = \phi_0 + \phi_1 u_{t-1} + \phi_2 u_{t-2} + \gamma_1 g_{t-1} + \varepsilon_t \]

Donde:

• \(u_t\) es la tasa de desempleo en tiempo t,
• \(g_t\) es la tasa de crecimiento del PIB en tiempo t.

Usando datos de los Estados Unidos tenemos que:

Podemos hacer pronósticos usando modelos autorregresivos con rezagos distribuidos usando las mismas técnicas aprendidas antes (ver modelos ARMA).

La representación ARMA del modelo ARDL nos permite calcular su función de impulso-respuesta. En el ejemplo tenemos:

Los modelos con vectores autorregresivos (VAR) son una generalización de los modelos autorregresivos uniecuacionales (AR) y de rezagos distribuidos (DL). Estos sirven para capturar la evolución y las interdependencias entre múltiples series de tiempo.

Nota. A diferencia de los modelos ARDL, en un VAR todas las variables del sistema son tratadas como endógenas.

Como ejemplo, consideramos la relación entre el inicio y el fin de construcción de nuevas viviendas en los Estados Unidos:

Un VAR involucra \(k\) variables. En un vector autorregresivo de orden \(p\) con \(k\) variables, VAR(\(p\)), tenemos que estimar \(k\) diferentes ecuaciones. En cada ecuación tenemos como regresores \(p\) rezagos de la variable dependiente y \(p\) rezagos de todas las demás variables del sistema.

Por ejemplo, para un VAR(\(1\)) con dos variables, \(y_{1,t}\) y \(y_{2,t}\), tenemos:

\[ \begin{align} y_{1,t} &= \phi^1_{1,1}y_{1,t-1} + \phi^1_{2,1}y_{2,t-1} + \varepsilon_{1,t} \\ y_{2,t} &= \phi_{1,1}^2y_{1,t-1} + \phi_{2,1}^2y_{2,t-1} + \varepsilon_{2,t} \\ \varepsilon_{1,t} & \sim WN(0,\sigma^2_1) \\ \varepsilon_{2,t} & \sim WN(0,\sigma^2_2) \\ \end{align} \] y:

\[ \begin{align} \mathbb{C}ov(\varepsilon_{1,t},\varepsilon_{2,\tau}) & = \begin{cases} \sigma_{12}; & \ t=\tau \\ 0; & \ t \neq \tau \\ \end{cases} \end{align} \]

Es muy fácil estimar un vector autorregresivo. Simplemente, estimamos \(N\) ecuaciones lineales utilizando el método de los MCO. Para elegir el orden del VAR, \(p\), utilizamos los criterios de Akaike y Schwartz.

Nota. Los modelos VAR se construyen, en principio, para variables estacionarias.

• Si las variables son estacionarias, el VAR puede estimarse directamente.
• Si las variables presentan raíz unitaria, usualmente se transforman mediante diferencias.
• Si las variables son no estacionarias pero cointegradas, el modelo apropiado es un VECM.

La causalidad de Granger evalúa si los valores pasados de una variable \(y_{2t}\) ayudan a predecir a otra variable \(y_{1t}\), más allá de la información contenida en los rezagos de \(y_{1t}\) misma.

Formalmente, decimos que \(y_{2t}\) no causa a \(y_{1t}\) en el sentido de Granger si:

\[ \mathbb E(y_{1t} \mid \Omega_{t-1}) = \mathbb E(y_{1t} \mid \Omega_{t-1}\setminus {y_{2,t-1}, y_{2,t-2}, \dots}), \]

donde \(\Omega_{t-1}\) es el conjunto de toda la información disponible hasta \(t-1\).

Para un VAR(\(p\)) bivariado tenemos:

\[ y_{1t} = c_1 + \sum_{i=1}^{p} \phi_{11,i} y_{1,t-i} + \sum_{i=1}^{p} \phi_{12,i} y_{2,t-i} + \varepsilon_{1t},\\ y_{2t} = c_2 + \sum_{i=1}^{p} \phi_{21,i} y_{1,t-i} + \sum_{i=1}^{p} \phi_{22,i} y_{2,t-i} + \varepsilon_{2t}. \]

Entonces:

• \(y_{2t}\) no causa a \(y_{1t}\) en el sentido de Granger si y solo si \(\phi_{12,1}=\cdots=\phi_{12,p}=0\).
• \(y_{1t}\) no causa a \(y_{2t}\) en el sentido de Granger si y solo si \(\phi_{21,1}=\cdots=\phi_{21,p}=0\).

Podemos verificar la causalidad de Granger empíricamente. Para esto, planteamos:

\[ H_0: \phi_{ij,1} = \phi_{ij,2} = \cdots = \phi_{ij,p} = 0, \qquad i \ne j. \] Usamos la prueba F:

\[ F = \frac{(SSR_R - SSR_{UR}) / q}{SSR_{UR}/(T - k)}, \] donde:

• \(SSR_R\): suma de residuos al cuadrado del modelo restringido (sin rezagos de \(y_2\))
• \(SSR_{UR}\): suma de residuos del modelo no restringido
• \(q=p\): número de restricciones.

Estimamos un VAR(\(4\)) para el inicio y el fin de construcción de nuevas viviendas en los Estados Unidos.

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ -1 + ., data = datamat)
## 
## Coefficients:
## starts.l1   comps.l1  starts.l2   comps.l2  starts.l3   comps.l3  starts.l4  
##  0.655743   0.007276   0.235371  -0.118989   0.138673  -0.021141   0.011877  
##  comps.l4      const  
##  0.002711   0.131220

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ -1 + ., data = datamat)
## 
## Coefficients:
## starts.l1   comps.l1  starts.l2   comps.l2  starts.l3   comps.l3  starts.l4  
##   0.06802    0.20486    0.05966    0.21775    0.03358    0.10504    0.09309  
##  comps.l4      const  
##   0.18231    0.04524

Para predecir el futuro usando un modelo VAR(\(p\)), usamos exactamente las mismas técnicas que para los modelos ARMA(\(p\),\(q\)). Usamos la muestra 1968:01-1991:12 para estimar el modelo y pronosticamos el periodo 1992:01-1996:06. Para el inicio de construcción de nuevas viviendas tenemos:

Para el fin de construcción de nuevas viviendas tenemos:

La siguiente tabla muestra el resultado del test de Granger para el inicio de construcción de viviendas:

## $Granger
## 
##  Granger causality H0: comps do not Granger-cause starts
## 
## data:  VAR object var_fit
## F-Test = 2.3066, df1 = 4, df2 = 658, p-value = 0.05685
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: comps and starts
## 
## data:  VAR object var_fit
## Chi-squared = 11.478, df = 1, p-value = 0.0007043

El test de Granger para el fin de construcción de viviendas:

## $Granger
## 
##  Granger causality H0: starts do not Granger-cause comps
## 
## data:  VAR object var_fit
## F-Test = 32.125, df1 = 4, df2 = 658, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## $Instant
## 
##  H0: No instantaneous causality between: starts and comps
## 
## data:  VAR object var_fit
## Chi-squared = 11.478, df = 1, p-value = 0.0007043

Las funciones de impulso-respuesta para nuetro ejemplo son:

Otra forma de caracterizar la dinámica de un VAR —muy relacionada a las funciones impulso-respuesta, es la descomposición de la varianza. Esta nos permite analizar el error de predicción en cada variable a un determinado horizonte de tiempo. Este error se atribuye a la incertidumbre acerca de la evolución futura en cada una de las variables.